¿Patrones reales o patrones imaginarios?
Las ramificaciones de un árbol, el tamaño de los elefantes y las familias de las abejas tienen más en común entre ellos de lo que es posible decir a simple vista.
Es el año 1180 en la ciudad de Bugía, en el norte de África. Un puesto comercial está a cargo de Guiglielmo «Bonacci», quien es acompañado por su hijo Leonardo. En la ciudad de Bugía, la República de Pisa tiene una colonia comercial a la que llegan mercaderes italianos que, entre muchas cosas, comercializan con la cera de abeja producida en esa ciudad, misma que es codiciada por los clérigos europeos. La ciudad de Bugía, Béjaïa en el idioma bereber, posee la más desarrollada tecnología para producir cera de abeja, y Leonardo aprendió muchas de las técnicas que involucran la producción de la misma.
Bugía es una ciudad mercante poderosa, con su propia élite intelectual, una boyante clase artística y su propia burguesía. En el Califato Almohade, al que pertenece la ciudad, se emplea el árabe como lengua y se utilizan los números arábigos, prácticamente inutilizables en Europa todavía. Leonardo se sintió atraído a la cultura árabe y a los conocimientos matemáticos de ésta que se desarrollaban en el seno del Islam. A la edad de 30 años, Leonardo regresó a Pisa tras haber aprendido las matemáticas árabes, y dos años después publicó su Liber Abici, «El libro de la aritmética», donde explicaba los potenciales que los números arábigos tenían para el comercio, las conversiones de unidades para pesos y medidas, la navegación y otros ámbitos, describe la descomposición en números primos, el concepto de la nulidad o cero, la divisibilidad de los números y la sucesión de Fibonacci.
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La sucesión de Fibonacci fue explicada en Liber Abici y nombrada por el mote que recibió Leonardo, el de filius Bonacci, o el hijo de «Bonacci», Fibonacci. Si bien esta sucesión se ha hecho famosa en la cultura popular, en tal obra se explica a través de una fantasiosa e irreal genealogía de conejos, la sucesión se puede apreciar en la naturaleza y se encuentra con claridad y exactitud en algo con lo que Leonardo estuvo familiarizado en su juventud en Bugía: la genealogía de las abejas.
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Las abejas se reproducen mediante un fenómeno conocido como haplodiploidía, donde el zángano proviene de óvulos sin fecundar, mientras que las hembras (obreras o reinas) provienen de óvulos fecundados. Es decir, los zánganos tienen solamente a su madre, mientras que las hembras tienen padre y madre. Si tabulamos el número de ancestros que tienen tanto los zánganos como las hembras, tendremos una tabla con los siguientes números:
Esto genera una sucesión donde un salto atrás genera una suma de ancestros de las dos generaciones anteriores (144 = 89 + 55). Esta genealogía apícola es bien conocida por los apicultores desde hace mucho tiempo, pues la selección de los zánganos permite obtener colmenas domesticadas. Encaja este modelo a la perfección con la sucesión de Fibonacci.
Muchos patrones en la naturaleza son descritos a la perfección por la sucesión de Fibonacci, por ejemplo, las inflorescencias como el girasol o la manzanilla se arreglan en dos conjuntos de espirales diferentes: unas en sentido horario y otras en sentido antihorario. El primero y el segundo conjuntos tienen siempre un número de elementos tales que corresponden a números consecutivos de la sucesión de Fibonacci (13/21, 21/34, 34/55 e incluso 55/89). Lo mismo sucede en las inflorescencias de la alcachofa, las infrutescencias de la piña o las ramificaciones de los árboles.
Sin embargo, subyacente en la sucesión de Fibonacci, se encontraba un número que en la Edad Media ya era conocido, y para cuando Liber Abici vio la luz en 1202, este número ya tenía el nombre de la «proporción divina».
El primer estudio sobre esta proporción sucedió mucho tiempo atrás de cuando Leonardo publicaba en Pisa su primero de cinco libros. Dicho estudio fue llevado a cabo por un matemático griego en la ciudad de Alejandría, en el Egipto ptolemaico. Euclides (300-265 a.C.) vivió en la ciudad de Alejandría bajo el reinado de Ptolomeo I, faraón bajo el cual la ciudad vivió un auge comercial e intelectual, siendo Alejandría la capital del pensamiento antiguo. Su obra es una de las más famosas y tiene una gran trascendencia histórica, pues Los Elementos sentaron las bases de la geometría antigua y moderna, al compilar todo lo que se sabía en la época sobre geometría.
El número áureo es un concepto geométrico que surge de estudiar dos segmentos de una recta. Veamos la siguiente imagen. El segmento a es más largo que el segmento b, y la relación entre ambos segmentos de recta es la siguiente:
Se lee que: la longitud total de la recta (a+b) es a la longitud del segmento a, como la longitud del segmento a es a la longitud del segmento b. Es decir, que es tantas veces más grande la recta (a+b) respecto a a, como lo es a respecto a b. Esta relación es la que se conoce como número áureo o número fi (φ).
Hablemos de unos detalles matemáticos del número áureo (sí, se trata de álgebra nuevamente). Así pues tenemos que el número φ es una relación entre los segmentos a y b, escrito como 
y sabemos que la relación inversa se obtiene de dividir 1 entre la relación original, es decir 
:
Ahora, multiplicamos los nuevos términos por φ[1]:
Y si igualamos la ecuación con 0, tenemos una típica ecuación de segundo grado:
Al resolver esta ecuación para encontrar el valor de φ con la fórmula de las ecuaciones de segundo grado que nos martiriza en la educación básica, tenemos que la solución positiva es[2]:
Eso se conoce como número áureo, y si bien el número áureo nace de una representación geométrica sencilla, definida primeramente por Euclides, el padre de la geometría, su importancia se acrecentó cuando dicha proporción se comenzó a observar en la naturaleza.
Volviendo a la sucesión de Fibonacci, de regreso a Pisa, la expresión matemática de la sucesión de Fibonacci, donde n se refiere a la posición de la sucesión que queremos calcular, se escribe como sigue:
Leyéndose: la función empieza con los elementos 0 y 1, pero después consiste de una suma de un número y su anterior.
Sin embargo, en un principio no era posible decir “quiero saber cuál es la posición 237” sin haber realizado las sumas anteriores (es decir, las 236 sumas anteriores). De modo que para poder calcular el número de una posición de la sucesión de Fibonacci era necesario calcular los dos precedentes. A menos que uno tuviera a la mano un pergamino con los números anteriores, la única forma de llegar a la posición 237 era a través de conocer las 236 posiciones previas. Pasaría mucho tiempo para que alguien encontrara un modo de calcular una posición sin requerir del pergamino.
Edóuard Lucas (1842-1891), un matemático francés, demostró que la sucesión de Fibonacci podía expresarse con el número áureo y así encontrar cualquier número de posición deseado. Es decir, encontró la manera de determinar la posición 237 sin tener que hacer 236 sumas y morir en el intento.
Si la ecuación se expresaba igualándola a cero, leyéndose “si se le resta a un número de Fibonacci sus dos números de Fibonacci anteriores, tenemos cero”:
Esto se denomina como relación de recurrencia, la relación de recurrencia tiene un polinomio característico: fórmula 
, cuya resolución es:
Por lo que Lucas representó la función de Fibonacci como:
Para definir en la misma ecuación las dos condiciones iniciales de 0 y 1, estableció un sistema de ecuaciones para que a y b pudieran satisfacer los dos parámetros:
Leyéndose que la suma de los dos parámetros a y b es 0 y que si se multiplicaban esos parámetros por las soluciones de los polinomios característicos (arriba) y se suman, tal suma es 1, es decir, los primeros dos números de la sucesión de Fibonacci. Dan como resultado que:
Encontró así que para calcular cada número en la sucesión de Fibonacci era necesario resolver la siguiente ecuación para el valor de n deseado, la denominada sucesión de Lucas:
Si recordamos que
, terminamos con una elegante incorporación de fi dentro de la sucesión de Fibonacci:
Si llegó hasta aquí sin entender mucho, simplemente podemos resumir todo lo anterior de la siguiente forma: «Si quiero encontrar la posición 237, sustituyo n por 237 en la ecuación»:
Tenemos el problema de calcular el número φ, pues si anotamos solo unos decimales no seremos capaces de encontrar una cifra exacta. Pero resulta que si queremos calcular el número φ, sólo basta con dividir dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci bastante grandes entre ellos mismos. Por ejemplo, digamos las posiciones 25 y 26, de fácil acceso: 46368 y 75025.
El resultado es indecible, pero de este mismo modo podemos encontrar posiciones más cercanas como la 60 o la 50.
Podemos decir que la sucesión de Fibonacci guarda una relación entre sus números en una proporción del número áureo. Por ejemplo, en las angiospermas, es decir las plantas con flor, se cumple que los pétalos que puede tener la flor son 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 y 144, todos números en la sucesión de Fibonacci. Y por lo tanto, el número áureo está presente en la proporción que guardan los números de la sucesión.
Sistemas Lindenmayer
Las algas, organismos que parecen vegetales y tienen la capacidad de realizar fotosíntesis, pero que carecen de tejidos, tienen un patrón de crecimiento muy peculiar. Supongamos que nombramos al primer filamento algal que crece como A, y que el filamento A produce dos ramificaciones, una A igual que la anterior, y una B. Los filamentos A siempre crecen y se ramifican en dos, pero los filamentos B solamente crecen en filamentos A.
Expresando esto de una manera matemática, decimos que tenemos dos reglas: A → AB (A genera dos filamentos, A y B), y que B → A (el filamento B genera un filamento A).
Haga pues el siguiente ejercicio mientras lee: empiece por una A, cambie esa A por una AB, luego, cambie esa A nuevamente por AB y la B por A. Siga aplicando estas dos reglas.
Si lo representamos gráficamente, tenemos que:
Surge así el patrón de ramificación de un alga. Este tipo de sistemas se dice que están restringidos a un pequeño número de reglas que se repiten de manera sucesiva. Cada repetición se denomina como iteración. Lo que es más interesante es que la primera iteración contiene 1 ramificación, la segunda 2, la tercera 3, la cuarta 5, la quinta 8, la sexta 13, y así sucesivamente ¿le suenan conocidos?
Estos sistemas fueron observados en plantas y algas en el siglo XX, y deben su nombre al biólogo teórico y botánico húngaro Aristid Lindenmayer (1925-1989), quien los identificó en 1968 en la Universidad de Ultretch, Países Bajos. Inicialmente, Lindemayer empleó estos sistemas para describir patrones de crecimiento en organismos unicelulares o pluricelulares simples, como las levaduras o las cianobacterias. Sin embargo, pronto amplió este patrón a las plantas vasculares y encontró que el crecimiento de los vegetales seguía siempre un patrón de iteraciones anidadas.
Este tipo de sistemas entran dentro de la clasificación de un fractal, que es un constructo matemático que se origina de repetir una condición inicial una y otra vez sobre la misma figura, obteniendo una construcción auto-repetida. En la naturaleza, encontrar fractales es demasiado común y sucede tanto en seres vivos como en fenómenos naturales.
Por ejemplo, el crecimiento de los vasos sanguíneos, las dendritas neuronales o el superenrrollamiento del ADN siguen todos comportamientos de fractal. Si bien, estos fractales no son estáticos y fijos en el tiempo: cambian constantemente. No siempre encontraremos árboles con las ramificaciones obedeciendo la sucesión, pero esto no es porque tales árboles sean las excepciones sino porque ocurrieron eventos accidentales que obscurecieron ese aspecto: una poda en los árboles de la ciudad impide que podamos ver que en efecto hubo un sistema-L involucrado. Sin embargo, en el tiempo, el árbol sí que creció usando ese sistema sencillo de reglas y en ese patrón fractal.
Uno de los problemas surgidos de encontrar patrones en la naturaleza se centra dentro del contexto de la teoría evolutiva ¿Cómo se explicarían esos patrones? ¿Son reales? ¿Son inventados por el ser humano? Si los patrones son reales, permitirían entender propiedades de los organismos que antes no conocíamos, pero de ser inventados por nuestro cerebro, su existencia es netamente coincidencia. Aunque la pregunta suena trivial, su respuesta no lo es y acarrea un debate filosófico y científico muy grande.
Patrones naturales y predicciones
Uno de los primeros alicientes que indicó que los patrones no eran incidentales fue el descubrimiento de la ley de Klieber, nombrada así en honor de su descubridor, el biólogo suizo Max Kleiber (1893-1976).
De acuerdo con esta ley, conforme un animal incrementa su masa, su metabolismo desacelera y permite que viva más tiempo. Así, organismos pequeños viven poco con un metabolismo acelerado, pero los más grandes viven más con un metabolismo lento. Esta relación masa-metabolismo se convirtió en una ley cuando logró predecir el tamaño de los elefantes y de los ratones en función de su masa corporal. Nace así la relación:
Y las aplicaciones de esta ley alcanzaron campos de importancia trascendental, como determinar la dosis humana de un nuevo fármaco a partir de la dosis usada en una rata de laboratorio.
Esta ley tiene fundamentos geométricos básicos que relacionan la superficie con el volumen de un cuerpo geométrico. Supongamos dos esferas: una tiene un diámetro de 30cm y la otra de 60cm.
La superficie no aumenta proporcionalmente al volumen de la esfera. Esta es la razón por la cual las células no son gigantes: las células se alimentan a través de la membrana, por lo que mientras más grande es la célula se necesita más membrana para alimentar el volumen celular. Sin embargo, una esfera más grande no tendrá una superficie suficiente para alimentar todo el contenido celular. Las células que son demasiado grandes, como los óvulos o los adipocitos[2], contienen compuestos de reserva energética, de modo que no dependen de la cantidad de alimento que pasa por la membrana.
Analicemos otro ejemplo, el del metabolismo. Comparemos un elefante, animal de gran volumen, con una secuoya ¿Por qué no hay elefantes tan grandes como las secuoyas? Las plantas producen su propio alimento, de esa manera toma la luz del sol y la utiliza para producir azúcares que posteriormente consume. Una secuoya ha desarrollado una estrategia para equilibrar su volumen con sus superficies: las hojas y las ramificaciones. De modo que si medimos toda la superficie foliar, tal superficie será casi igual que la del volumen. Las ramificaciones permiten que en menos espacio haya más superficie y la secuoya puede crecer más. Sin embargo, el elefante no produce su propio alimento, lo busca.
El elefante consume alimento que quema para producir energía, esto es el metabolismo. La producción de energía produce calor, que es eliminado del organismo a través de la piel. Si el elefante quemara su energía de manera acelerada, el calor producido sofocaría al animal, por ello su metabolismo es más lento y quema su combustible a un ritmo mayor. Por otro lado, los colibríes son animales pequeños por cuya superficie se puede escapar más calor; si los colibríes tuvieran un metabolismo lento, perderían una gran cantidad de energía y no podrían sobrevivir. Por ello, su metabolismo es más acelerado. De ese modo se cumple la ley de que a menor masa el metabolismo incrementa.
Sin embargo, a la luz de la evolución, se hace indispensable explicar por qué los animales y las plantas son tan diferentes si hay un patrón básico subyacente que guía su morfología. Claramente hay un elemento faltante. El mes de febrero de 2014 un equipo de investigadores de la Universidad de Maryland, Estados Unidos, y de Padua, Italia, encontraron lo que parece ser ese elemento faltante. Tanto plantas como animales tuvieron que resolver bajo diferentes mecanismos el problema de aprovechar la energía eficientemente.
El hidrólogo Andrea Reinaldo de la Universidad de Padua explicó que los animales necesitan ajustar el flujo de nutrientes y calor conforme la masa cambia para producir la mayor eficiencia energética. Este problema favoreció la aparición del corazón como estructura de bombeo y regulación del metabolismo, mientras que las plantas, fijas a un sustrato, dependieron únicamente de las presiones hidrostáticas del medio para distribuir sus alimentos y a la producción de ramificaciones para incrementar el área.
Tanto el linaje vegetal como el linaje animal recurren a estrategias diferentes para resolver el mismo problema. A esto se le conoce como evolución convergente y es un tema que ha estado en boga en años recientes. Si es posible entender cómo se solucionan los problemas adaptativos en la naturaleza, podemos entender cómo es que ésta evoluciona; en última instancia, la naturaleza podría ser predecible.
Es innegable que tanto las plantas como los animales, así como bacterias, hongos y protistas, recurren a sistemas fractales para ambas estrategias: las hojas y las ramificaciones en las plantas; los vasos sanguíneos en los animales ¿Cuál es entonces la explicación que existe para que los seres vivos posean patrones? Si los patrones son reales ¿Cómo se explican tales patrones a la luz de la evolución? ¿Cómo evolucionan los patrones?
Continúe con la segunda parte, aquí.
Portada: Aloe polyphylla Schönland ex Pillans, brewbooks
Bibliografía
- Banavar, Jayanth R., Todd J. Cooke, Andrea Rinaldo y Amos Maritan (2014) Form, function, and evolution of living organisms. PNAS, 111(9), 3332-3337.
- Coen, Enrico, Anne-Gaëlle Rolland-Lagan, Mark Matthews, J. Andrew Bangham, Przemyslaw Prusinkiewicz (2004) The genetics of geometry. PNAS, 101(14), 4728-4735.
- Miramontes, Pedro (1996) “La geometría de las formas vivas” Ciencias, 42, 12-19.
- Scott, T. C., P. Marketos (2014). On the Origin of the Fibonacci Sequence. MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
[1] Éste es el único número que satisface la condición de que x2 = x+1.
[2] Recuerde que una ecuación de segundo grado tiene siempre dos soluciones: una positiva y otra negativa.
[3] Células de grasa.
